本読んでて詰まったのでメモ

命題

ユニタリ行列$v$について

$$\mathrm{tr}[v^\dagger \nabla v]=\mathrm{tr}[\nabla\log v]$$

が成り立つ。

証明

$v$はユニタリ行列なので対角化可能である。 ユニタリ行列$P$を用いて対角化した行列を$D$とおく。

$$vP=PD$$

また、$v$はユニタリ行列なので

$$v^\dagger=v^{-1}$$

左辺の$v$を$D$で書き換えると、

$$\begin{align} \mathrm{l.h.s.}&=\mathrm{tr}[PD^{-1}P^{-1}\nabla PDP^{-1}]\\ &=\mathrm{tr}[PD^{-1}P^{-1}(\nabla P)DP^{-1}+PD^{-1}P^{-1}P(\nabla D)P^{-1}+PD^{-1}P^{-1}PD(\nabla P^{-1})] \end{align}$$

$D$は対角行列なので、$D^{-1}$は$D$の対角要素の逆数を要素に持つ対角行列であり、

$$\begin{align} (D^{-1}\nabla D)_{ii}&=\frac{1}{D_{ii}}\nabla D_{ii}\\ &=(\nabla \log D)_{ii} \end{align}$$

また、跡の性質から

$$\mathrm{tr}[AB]=\mathrm{tr}[BA]$$

さらに、

$$\begin{align} PP^{-1}&=I\\ \nabla PP^{-1}&=\nabla I\\ \nabla PP^{-1}+P\nabla P^{-1}&=O \end{align}$$

なので、

$$\begin{align} \mathrm{l.h.s.}&=\mathrm{tr}[P^{-1}\nabla P+\nabla \log D+P\nabla P^{-1}]\\ &=\mathrm{tr}[\nabla P^{-1}\log vP]\\ &=\mathrm{tr}[(\nabla P^{-1})\log vP+P^{-1}(\nabla\log v)P+P^{-1}+P^{-1}\log v(\nabla P)]\\ &=\mathrm{tr}[\nabla \log v]=\mathrm{r.h.s.}\\ \end{align}$$

所感

算数で詰まって永遠に物理ができない。上手くなりたい。